Question

17．若cos（45°-x）=-$\frac{4}{5}$（225°＜x＜315°），求$\frac{sin2x-2si{n}^{4}x}{1+tanx}$的值．

Answer 1

分析 首先，根据已知，得到cosx+sinx=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，然后，求解cosx=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinx=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，从而，求解其值．

解答 解：∵cos（45°-x）=-$\frac{4}{5}$，
∴cos45°cosx+sin45°sinx=-$\frac{4}{5}$，
∴cosx+sinx=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴1+sin2x=$\frac{32}{25}$，
∴sin2x=$\frac{7}{25}$，
∵225°＜x＜315°，
∴sinx＜cosx，
∴cosx-sinx=$\sqrt{1-sin2x}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴cosx=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinx=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴tanx=7，
∴$\frac{sin2x-2si{n}^{4}x}{1+tanx}$=$\frac{\frac{7}{25}-2×（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）^{4}}{1+7}$=-$\frac{2051}{10000}$．

点评 本题重点考查了三角公式、二倍角公式等知识，属于中档题．