Question

17．已知函数f（x）=m-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$（e≈2.718）在R上是奇函数．
（1）求实数m的值，判断f（x）单调性，并用定义法证明；
（2）求满足不等式f（x）＞$\frac{e-1}{e+1}$的x的集合M．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的单调性可看出x增大时，f（x）增大，从而判断出f（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上单调递增；根据f（x）为奇函数，f（x）又在原点有定义，从而有f（0）=0，这样即可得出m的值；
（2）将不等式转化为：$\frac{1}{e+1}$＞$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R；
x增大时，e^x增大，-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$增大，f（x）增大，
∴f（x）在R上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{e}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{e}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{{x}_{2}}）}{{（e}^{{x}_{1}}+1）{（e}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴e^x1＜e^x2，e^x1-e^x2＜0；
又e^x1+1＞0，e^x2+1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递增；
f（x）在R上为奇函数；
∴f（0）=m-$\frac{2}{{e}^{0}+1}$=m-1=0；
∴m=1；
（2）由f（x）=1-$\frac{2}{{e}^{x}+1}$＞$\frac{e-1}{e+1}$，
得：$\frac{1}{e+1}$＞$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，解得：x＞1，
∴M=（1，+∞）．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指数函数、对数函数的单调性．