Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围；

（2）若，证明：对于，总有

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）求出的导数，将其转化为在区间内存在区间使得即在上能成立，根据函数的最小值即可确定的范围；（2）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，，求出的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．

（1）由题，

因为函数在存在单调增区间，

故在区间内存在区间使得成立，

即能成立，

即在上能成立，

而在的最小值是，

故；

（2）若，则，

，

而，

又因为，所以，

要证原不等式成立，只要证，

只要证，

只要证，在上恒成立，

首先构造函数，，

因为，

可得，在时，，即在上是减函数，

在时， ，即在上是增函数，

所以，在上，，所以，

所以，，等号成立当且仅当时，

其次构造函数，，

因为，

可见时，，即在上是减函数，

时， ，即在上是增函数，

所以在上，，所以，

所以，，等号成立当且仅当时．

综上所述，，

因为取等条件并不一致，

所以，在上恒成立，

所以，总有成立．