Question

若双曲线x²-y²=a²（a＞0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点．若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设P（m，n），得直线PA、PB的斜率K_PA和K_PB满足：K_PA•K_PB=．由点P是双曲线x²-y²=a²上的点，得n²=m²-a²，整理得K_PA•K_PB=1．由斜率与倾斜角的关系，得tanα•tanβ=1，结合三角函数诱导公式，得α+β=，最后根据β=mα化简整理，即可得到本题的答案．
解答：解：∵双曲线方程为x²-y²=a²，即（a＞0）
∴双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）
设P（m，n），得
直线PA的斜率为K_PA=；直线PB的斜率为K_PB=
∴K_PA•K_PB=…（1）
∵P（m，n）是双曲线x²-y²=a²上的点
∴m²-n²=a²，得n²=m²-a²，代入（1）式得K_PA•K_PB=1
∵直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，
∴tanα•tanβ=1，
∵P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角
∴α+β=（m+1）α=，解之得α=
故选：D
点评：本题给出等轴双曲线上一点P，求P与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．