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如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点。求双曲线的离心率。

本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质、推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.

解:如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线ABx轴,建立直角坐 标系xOy,则CDy轴.因为双曲线经过点CD,且以AB为焦点,由双曲线的对称性知CD关于y轴对称.  

依题意,记A(-c,0),Ch),Bc,0),其中c为双曲线的半焦距,cAB|,h是梯形的高.

由定比分点坐标公式,得点E的坐标为

 

                                   

设双曲线的方程为,则离心率.

由点CE在双曲线上,得

                              

由(1)得代入(2)得.

所以,离心率.

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