Question

设M（-5，0），N（5，0），△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为

x2

169

+

y2

144

=1（y≠0）

．

Answer 1

分析：设P（x，y），易求|MN|=10，PM|+|PN|=26，根据椭圆定义可判断点P轨迹为以M、N为焦点的椭圆，但不与M、N共线，从而可求得动点P的轨迹方程．

解答：解：设P（x，y），由M（-5，0），N（5，0）知|MN|=10，
由△MNP的周长是36，得|PM|+|PN|=36-|MN|=36-10=26＞10，
所以顶点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，但不与M、N共线，
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则2a=26，c=5，所以a=13，b²=a²-c²=13²-5²=144，
所以△MNP的顶点P的轨迹方程为

x2

169

+

y2

144

=1（y≠0）．

点评：本题考查椭圆的定义及其标准方程的求解，解决本题的关键是准确理解椭圆定义，注意检验特殊点．