练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    上是减函数，在
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （1）如果函数y=x+
    2b
    x
    在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
    （2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+
    c
    x
    （1≤x≤2）的最大值和最小值．
    分析：（1）根据函数y=x+
    a
    x
    的性质可知
    		2b
    =4，从而可求出b的值；
    （2）讨论
    		c
    是否在定义域内，从而可求出函数的最小值，讨论c可确定f（1）与f（2）的大小，从而求出函数的最大值．
    解答：解：（1）由函数y=x+
    a
    x
    的性质知：y=x+
    2b
    x
    在（0，
    		2b
    ）上是减函数，在（
    		2b
    ，+∞）上是增函数，
    ∴
    		2b
    =4，∴2b=16=24，∴b=4．
    （2）∵c∈（1，4），∴
    		c
    ∈1，2．
    又∵f（x）=x+
    c
    x
    在（0，
    		c
    ）上是减函数，在（
    		c
    ，+∞）上是增函数，
    ∴
    		c
    ∈[1，2]时，当x=
    		c
    时，函数取得最小值2 
    		c
    ．
    又f（1）=1+c，f（2）=2+
    c
    2
    ，
    f（2）-f（1）=1-
    c
    2
    ．
    当c∈（1，2）时，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
    此时f（x）的最大值为f（2）=2+
    c
    2
    ．
    当c=2时，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
    此时f（x）的最大值为f（2）=f（1）=3．
    当c∈（2，4时，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
    此时f（x）的最大值为f（1）=1+c．
    综上所述，函数f（x）的最小值为2
    		c
    ；
    当c∈（1，2）时，函数f（x）的最大值为2+
    c
    2
    ；
    当c=2时，函数f（x）的最大值为3；
    当c∈（2，4）时，函数f（x）的最大值为1+c．
    点评：本题主要考查了新定义，以及函数的最大值和最小值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    ]上是减函数，在[
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （Ⅰ）如果函数y=x+
    2b
    x
    （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
    （Ⅱ）研究函数y=x2+
    c
    x2
    （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （Ⅲ）对函数y=x+
    a
    x
    和y=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
    1
    x
    ）n+（
    1
    x2
    +x    ）n（n是正整数）在区间[
    1
    2
    ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
    		a
    ]上单调递减，在[
    		a
    ，+∞）上单调递增．
    （1）如果函数f（x）=x+
    2b
    x
    在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
    （2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
    a
    x
    在x∈[l，2]的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    （x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
    		a
    ]上是减函数，在[
    		a
    ，+∞）上是增函数．
    （1）如果函数y=x+
    b2
    x
    （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
    （2）研究函数y=x2+
    c
    x2
    （x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
    （3）对函数y=x+
    a
    x
    和y=x2+
    a
    x2
    （x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
    1
    x
    )2    +(
    1
    x2
    +x)2    在区间[
    1
    2
    ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x+
    a
    x
    有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
    		a
    ]    上是减函数，在[
    		a
    ，+∞)    上是增函数，
    （1）如果函数y=x+
    3m
    x
    (x＞0)    的值域是[6，+∞），求实数m的值；
    （2）研究函数f(x)=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
    （3）若把函数f(x)=x2+
    a
    x2
    （常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案