Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.

Answer 1

(1) +y²=1   (2)见解析

(1)由题意知:c=1.
根据椭圆的定义得:2a=+,
即a=,所以b²=2-1=1,
所以椭圆C的标准方程为+y²=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A(,0),B(-,0),
则·=(-,0)·(--,0)=-.
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为
x=ty+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
由可得(t²+2)y²+2ty-1=0.
显然Δ>0.所以
因为x₁=ty₁+1,x₂=ty₂+1,
所以·=(x₁-,y₁)·(x₂-,y₂)
=(ty₁-)(ty₂-)+y₁y₂
=(t²+1)y₁y₂-t(y₁+y₂)+
=-(t²+1)·+t·+
=+=-.
即·=-,为定值.