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(20) (本题满分14分) 已知正四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2 的正方形,高为.M为线段PC的中点.

(Ⅰ) 求证:PA∥平面MDB;
(Ⅱ) N为AP的中点,求CN与平面MBD所成角的正切值.
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)2.

试题分析:(Ⅰ)证明:在四棱锥P-ABCD中,连结AC交BD于点O,连结OM,因为在△PAC中,M为PC的中点,O为AC的中点,所以OM为△PAC的中位线,得OM∥AP,又因为AP平面MDB,OM平面MDB,所以PA∥平面MDB. …………6分

(Ⅱ) 解:连结PO.由条件可得PO=,AC=2
PA=PC=2,CO=AO=
设NC∩MO=E,由题意得BP=BC=2,且∠CPN=90°.
因为M为PC的中点,所以PC⊥BM,
同理PC⊥DM,故PC⊥平面BMD.
所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM,
∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角,
又因为OM∥PA,所以∠PNC=∠MEC.
在Rt△CPN中,CP=2,NP=1,所以tan∠PNC=
故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2.        …………14分
利用体积法相应给分
点评:熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理以及线面角等知识点是解题的关键.利用三角形的中位线定理是证明线线平行常用的方法之一.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分13分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E的棱AB上移动。
(I)证明:D1EA1D;
(II)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本题满分13分)如图所示,在四棱锥中,平面
平分的中点.

求证:(1)平面
(2)平面.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列命题中,错误的命题是(   )
A.平行于同一直线的两个平面平行。
B.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交。
C.平行于同一平面的两个平面平行。
D.一条直线与两个平行平面所成的角相等。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知两条不同直线,两个不同平面,给出下列命题:
(1)若,则;(2)若,则
(3)若,则平行于内的所有直线;(4)若
(5)若在平面内的射影互相垂直,则
其中正确命题的序号是                (把你认为正确命题的序号都填上).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若直线不平行于平面,则下列结论成立的是(   )
A.平面内的所有直线都与直线异面B.平面内不存在与直线平行的直线
C.平面内的直线都与直线相交D.平面内必存在直线与直线垂直

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在正方体中,下列几种说法正确的是   (    )
A.B.
C.D.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

不同的直线a, b, c及不同的平面α,β,γ,下列命题正确的是(    )
A.若aα,bα,c⊥a, c⊥b 则c⊥α
B.若bα, a//b则 a//α
C.若a⊥α, b⊥α 则a//b
D.若a//α,α∩β=b则a//b

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

α,β,γ为不同的平面,m,n,l为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件是
A.B.
C.D.

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