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如图,已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形,直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点E是该圆上异于A,B的一点,连接AE、BE、DE、CE.
(1)求证:平面ADE⊥平面BCE;
(2)若∠BAE=30°,求几何体CD-ABE的体积.

【答案】分析:(1)设以AB为直径的圆所在的平面为α,根据AD与平面α垂直,得到BE⊥AD,再根据直径所对的圆周角为直角,得到BE⊥AE.结合线面垂直的判定定理,得到BE⊥平面ADE,最后利用面面垂直的判定定理,得到平面ADE⊥平面BCE;
(2)过点E作EF⊥AB于F,结合已知条件AD⊥平面ABE,得到EF⊥AD,从而EF垂直于平面ABCD内两条相交直线,得到EF⊥平面ABCD,可得EF是四棱锥E-ABCD的高线.然后在Rt△ABE和Rt△AEF中,分别求出AE、EF长,得到四棱锥E-ABCD的高线等于,最后用棱锥的体积公式,求出V=•S正方形ABCD•EF=,即为几何体CD-ABE的体积.
解答:解:(1)设以AB为直径的圆所在的平面为α,
∵AD⊥α,BE?α
∴BE⊥AD
∵AB是圆的直径,E点在圆上,
∴BE⊥AE
∵AD∩AE=A,AD、AE?平面ADE,
∴BE⊥平面ADE,
∵BE?平面BCE
∴平面BCE⊥平面ADE,即平面ADE⊥平面BCE;
(2)过点E作EF⊥AB于F,
∵AD⊥平面ABE,EF?平面ABE,
∴EF⊥AD
又∵EF⊥AB,AB∩AD=A,AB、AD?平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD,可得EF是四棱锥E-ABCD的高线,
∵Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=4,
∴AE=ABcos30°=2
∴Rt△AEF中,EF=AEsin30°=
因此四棱锥E-ABCD的体积为V=•S正方形ABCD•EF=×42×=
即:几何体CD-ABE的体积是
点评:本题给出一个特殊的四棱锥,通过求证面面垂直和求体积,着重考查了空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质,考查了锥体体积公式,属于中档题.
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