Question

如图，已知四边形ABCD是边长为4cm的正方形，直线AD垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点E是该圆上异于A，B的一点，连接AE、BE、DE、CE．
（1）求证：平面ADE⊥平面BCE；
（2）若∠BAE=30°，求几何体CD-ABE的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设以AB为直径的圆所在的平面为α，根据AD与平面α垂直，得到BE⊥AD，再根据直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AE．结合线面垂直的判定定理，得到BE⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定定理，得到平面ADE⊥平面BCE；
（2）过点E作EF⊥AB于F，结合已知条件AD⊥平面ABE，得到EF⊥AD，从而EF垂直于平面ABCD内两条相交直线，得到EF⊥平面ABCD，可得EF是四棱锥E-ABCD的高线．然后在Rt△ABE和Rt△AEF中，分别求出AE、EF长，得到四棱锥E-ABCD的高线等于，最后用棱锥的体积公式，求出V=•S_{正方形ABCD}•EF=，即为几何体CD-ABE的体积．
解答：解：（1）设以AB为直径的圆所在的平面为α，
∵AD⊥α，BE?α
∴BE⊥AD
∵AB是圆的直径，E点在圆上，
∴BE⊥AE
∵AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BCE
∴平面BCE⊥平面ADE，即平面ADE⊥平面BCE；
（2）过点E作EF⊥AB于F，
∵AD⊥平面ABE，EF?平面ABE，
∴EF⊥AD
又∵EF⊥AB，AB∩AD=A，AB、AD?平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，可得EF是四棱锥E-ABCD的高线，
∵Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=4，
∴AE=ABcos30°=2
∴Rt△AEF中，EF=AEsin30°=
因此四棱锥E-ABCD的体积为V=•S_{正方形ABCD}•EF=×4²×=
即：几何体CD-ABE的体积是．
点评：本题给出一个特殊的四棱锥，通过求证面面垂直和求体积，着重考查了空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质，考查了锥体体积公式，属于中档题．