Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数），数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=（n∈N⁺）．已知不等式|f（x）≤2x²+4x-30|对任意实数x均成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与乘积分别记为S_n和T_n，证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

解：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，
从而f（α）=0，同理f（β）=0，
∴f（x）=（x-α）（x-β）．
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
从而2a_n+1=a_n（a_n+2），即，
∴=，
=，（n∈N⁺），

=2-．
∴对任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．
（3）证明：∵，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N⁺，
即{a_n}为单调递增的正数数列，
∵，
∴{b_n}为单调递减的正数数列，且．
于是，
∵，
∴对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
分析：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，从而f（α）=0，同理f（β）=0，由韦达定理能求出a和b．
（2）由f（x）=x²+2x-15，知=，=，（n∈N⁺），由此能够证明对任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．
（3）由，知{a_n}为单调递增的正数数列，由，知{b_n}为单调递减的正数数列，且．由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意韦达定理、数列性质的合理运用．