Question

22、如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求证：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求证：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

分析：对于（Ⅰ）求证：∠P=∠EDF，因为由已知显然∠C=∠P，故转化为证∠EDF=∠C，则只需根据已知证明△DEF∽△CED，即可得到答案．
（Ⅱ）求证：CE•EB=EF•EP，由（Ⅰ）求得的∠P=∠EDF，和对顶角∠DEF=∠PEA，易得到△DEF∽△PEA．根据相似三角形边的比例关系和圆内两弦相交的比例关系，综合起来即可得到答案．

解答：证明：（1）∵DE²=EF•EC，∴DE：CE=EF：ED．
又∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．
故得证．

点评：此题主要考查相似三角形的性质及圆内比例关系的问题，对于此类简单平面几何的问题一般都是基础类型的题目，同学们只需认真分析已知即可得到答案，