Question

（(本小题满分14分)
已知函数是函数的极值点。
（Ⅰ）当时，求a的值，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当R时，函数有两个零点，求实数m的取值范围.
（Ⅲ）是否存在这样的直线，同时满足：
①是函数的图象在点处的切线   
②与函数 的图象相切于点，
如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）,
．                                    ．．．．1分
由已知得，解得a=1．               ……2分
．
当时，，当时，．又，    ．．．．3分
当时，在，上单调递增，在上单调递减． ………4分
（2）由（1）知，当时，单调递减，
当，单调递增，.        ………………2分
要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.
①当时，m=0或；                                  ．．．．3分
②当b=0时，；                                     ．．．．4分
③当.                                                                                        ．．．．5分
（3）假设存在，时，

函数的图象在点处的切线的方程为：      ．．．．1分
直线与函数的图象相切于点，
，，所以切线的斜率为
所以切线的方程为
即的方程为：                                                     …………2分
得
得其中                     ．．．．3分
记其中

令                                        ．．．．4分

		1
	+	0	-
		极大值

又，

所以实数b的取值范围的集合：         …………5分

略