Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，且已知函数f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

，(n∈N*)

在x=1时取得极值．
（1）证明数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项；
（2）设3nbn=(-1)nan，且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m-3n(

2

3

)n+1对于n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据函数f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

&(n∈N*)

在x=1时取得极值，可得f′（1）=0，从而可证数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，进而可得数列{

an

2n

}是以首项为1，公差为1的等差数列，从而可得数列{a_n}的通项；
（2）利用3nbn=(-1)nan，结合（1）可求b_n，进而可用错位相消法，求数列的和，由此可求实数m的取值范围．

解答：（1）证明：求导函数f′(x)=(an+2-an+1)x2-(3an+1-4an)
∵函数f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

&(n∈N*)

在x=1时取得极值．
∴f′（1）=0，
∴（a_n+2-a_n+1）-（3a_n+1-4a_n）=0．
即a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），又a₂-2a₁=4
∴数列{a_n+1-2a_n}是以2为公比，4为首项的等比数列．
∴a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，且

a1

2

=1．
∴数列{

an

2n

}是以首项为1，公差为1的等差数列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ
（2）解：由3ⁿb_n=（-1）ⁿa_n，得b_n=（-1）ⁿn（

2

3

）ⁿ，
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=

2

3

+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿ，①

2

3

S_n=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹，②
①-②得

1

3

S_n=

2

3

+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜m-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹．
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N*恒成立，只须m≥6．
所以实数m的取值范围是m≥6

点评：本题以函数为载体，考查等比数列，考查构造法的运用，考查错位相消法求数列的和，综合性强．