Question

正项数列{a_n}中，a₁=4，其前n项和S_n满足：S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0．
（Ⅰ）求a_n与S_n；
（Ⅱ）令b_n=

2n-1+1

(3n-2)an

，数列{b_n²}的前n项和为T_n．证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

12

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出S_n=a_n+1+n．由此能求出数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n．
（Ⅱ）由已知条件推导出b1=

1

2

，b_n=

1

3n-2

，从而得到bk2＜

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），由此能够证明对于任意的n∈N^*，都有Tn＜

5

12

．

解答： （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵S_n²-（a_n+1+n-1）S_n-（a_n+1+n）=0，
∴[S_n-（a_n+1+n）]（S_n+1）=0．
∵{a_n}是正项数列，∴S_n＞0，S_n=a_n+1+n．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1+n-a_n-（n-1）．
∴a_n+1=2a_n-1，a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2），…（4分）
又∵a₁=S₁=a₂+1，a₁=4，∴a₂=3，
∴an-1=(a2-1)•2n-2，
∴a_n=2^n-1+1，n≥2，
综上，数列{a_n}的通项an=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

．
当n=1时，S_n=4；
当n≥2时，S_n=4+（2+2²+2³+…+2^n-1）+n-1
=4+

2(1-2n-1)

1-2

+n-1
=2ⁿ+n+1，
当n=1时也成立，
∴S_n=2ⁿ+n+1．…（7分）
（Ⅱ）证明：∵an=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

，b_n=

2n-1+1

(3n-2)an

，
∴b1=

1

2

，b_n=

1

3n-2

，（n≥2），…（9分）
则当k≥2时，有bk2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

（

1

3k-4

-

1

3k-1

），
∴当n≥2时，有
T_n=

1

4

+

n

k=2

bk2＜

1

4

+

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-4

-

1

3n-1

）]
=

1

4

+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)
＜

1

4

+

1

3

×

1

2

=

5

12

，
又n=1时，T1=b12=

1

4

＜

5

12

，
∴对于任意的n∈N^*，都有Tn＜

5

12

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，考查数列不等式的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．