Question

【题目】已知函数f（x）的导数满足f（x）+x＞对x∈R恒成立，且实数x，y满足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），则下列关系式恒成立的是( )

A.B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）

C.D.x﹣y＞sinx﹣siny

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题得f（x）+（x+1）＞0，令g（x）=（x+1）f（x），得到函数的单调性，由

xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x）得到x＞y.再逐一分析判断每一个选项的正误得解.

因为f（x）+x＞，

所以f（x）+（x+1）＞0，

令g（x）=（x+1）f（x），

则=f（x）+（x+1）＞0对x∈R恒成立，

∴g（x）在x∈R时单调递增.

又由题得实数x，y满足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，

所以g（x）＞g（y），

∴x＞y，

取x=1，y=，则有成立，故A选项错误；

又当x=1，y=时，有ln（1+x2）=ln（1+y2），故B选项错误；

令h（x），则h′（x），

当x＜1时，＞0，此时h（x）单调递增，当x＞1时，＜0，此时h（x）单调递减，当y＜x＜1时，有h（x）＞h（y）成立，即有成立，故C选项错误；

令t（x）=xsinx，则=1cosx≥0，此时t（x）单调递增，

又∵x＞y，∴t（x）＞t（y），

∴x﹣sinx＞y﹣siny，即x﹣y＞sinx﹣siny，故D选项正确.

故选：D