Question

（选修4-2　矩阵与变换）已知二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e₁=

.

1 1

.

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e₂的坐标之间的关系．

Answer 1

分析：（1）先设矩阵 A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=6及对应的一个特征向量e₁及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，从而求得另一个特征值为2，设矩阵M的另一个特征向量是e₂=

x y

，解得特征向量e₂的坐标之间的关系．

解答：解：（1）设矩阵 A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，
则

a b c d

1 1

=6

1 1

=

6 6

，故

a+b=6 c+d=6

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

联立以上两方程组解得a=

14

3

，b=

4

3

，c=

8

3

，d=

10

3

，故M=

14 3 8 3

4 3 10 3

．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ²-8λ+12，故其另一个特征值为2，
设矩阵M的另一个特征向量是e₂=

x y

，则Me₂=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，解得2x+y=0

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．