Question

已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率,A为右顶点,K为右准线与X轴的交点，且.

(I)求椭圆的标准方程；

(II )设椭圆的上顶点为B，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于C，D两点，且椭圆的左焦点巧恰为ΔBCD的垂心?若存在,求出l的方程_r若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）设焦点坐标为F₁(-c，0)，F₂(c，0)，

由，得．    ①

由题知 A(a，0)，K(，0)，

∴ =(c-a，0)，=(-a，0)，

由得 ②

由①、②解得，c=1，从而b²=a²-c²=1，即b=1．

∴ 椭圆方程为．……………………………………………………4分

（Ⅱ）假设存在直线l满足题意，B(0，1)，F₁(-1，0)，

于是直线F₁B的斜率为．

由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得

3x²-4mx+2m²-2=0.

令C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，则

又=(x₁+1，y₁)·(x₂，y₂-1)

=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁

=x₁x₂+x₂+(m-x₁)(m-x₂)-(m-x₁)

=2x₁x₂+m²-m(x₁+x₂)-m+(x₁+x₂)

=2x₁x₂ +(1-m)(x₁+x₂) +m²-m，

由，代入x₁+x₂，x₁x₂得，

整理得3m²+m-4=0，

解得m=1或．……………………………………………………………10分

当m=1时，直线l恰过B点，于是B、C、D不构成三角形，故m=1舍去．

当的，满足Δ=8(3-m²)>0．

故所求的直线l为：，即3x+3y+4=0．

【解析】略