Question

15．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$，且过点（4，-$\sqrt{10}$），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：MF₁⊥MF₂；
（3）从双曲线的左焦点F₁引以原点为圆心，实半轴长为半径的圆的切线，求切线与双曲线的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）离心率为$\sqrt{2}$，a=b，设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）．双曲线经过点（4，-$\sqrt{10}$），代入求出λ，即可求双曲线方程；
（2）证明${k}_{M{F}_{1}}$${k}_{M{F}_{2}}$=-1，即可证明：MF₁⊥MF₂；
（3）求出圆的方程为x²+y²=6，可得切线方程与双曲线的交点坐标．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{2}$，∴a=b，…（1分）
∴设双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）．…（2分）
∵双曲线经过点（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，即λ=6．…（3分）
∴双曲线方程为x²-y²=6．…（4分）
（2）由（1）可知，在双曲线中a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$，
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0），…（5分）
∴${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{m}{3+2\sqrt{3}}$，${k}_{M{F}_{2}}$=$\frac{m}{3-2\sqrt{3}}$，…（6分）
又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9-m²=6，
∴m²=3，
∴${k}_{M{F}_{1}}$${k}_{M{F}_{2}}$=-1，…（7分）
∴MF₁⊥MF₂，…（8分）
（3）由（1）知a=b=$\sqrt{6}$，所以圆的方程为x²+y²=6，切线方程y=±（x+2$\sqrt{3}$），…（10分）
交点坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．…（12分）

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．