Question

（2013•广西一模）已知函数f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

（1）若tanx=-2，求f（x）的值
（2）求函数y=cotx[f（x）]的定义域和值域．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，将f（x）化简可得f（x）=tan²x-2tanx+1，代入tanx=-2即可得到f（x）的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系，化简得y=cotx[f（x）]=tanx+cotx-2，根据正切、余切函数的定义域，算出x的取值范围，即得函数的定义域；最后根据基本不等式求最值，可得函数的值域．

解答：解：（1）f（x）=

1-sin2x

1-cos2( π 2 -x)

=

(sinx-cosx)2

1-sin2x

=

sin2x-2sinxcosx+cos2x

cos 2x

∴f（x）=tan²x-2tanx+1
∵tanx=-2，
∴f（x）=（-2）²-2×（-2）+1=9；
（2）y=cotx[f（x）]=cotx（tan²x-2tanx+1）=tanx+cotx-2
∵要使tanx、cotx有意义，须满足x≠

π

2

+kπ且x≠kπ，k∈Z
∴函数y=cotx[f（x）]的定义域为{x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}
∵|tanx+cotx|≥2

tanx•cotx

=2
∴tanx+cotx≥2或tanx+cotx≤-2
由此可得y=tanx+cotx-2的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）
综上所述，函数y=cotx[f（x）]的定义域是{x|x≠

1

2

kπ，k∈Z}，值域为（-∞，-4]∪[0，+∞）．

点评：本题通过一个三角函数式的化简求值，考查了三角函数中的恒等变换应用函数的定义域与值域求法等知识，属于中档题．