Question

6．根据下列条件求抛物线的方程．
（1）焦点在x轴上，且焦点到准线距离为3；
（2）过点（-2，-3）；
（3）以双曲线$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦点为焦点的抛物线方程；
（4）焦点在x-2y+4=0上．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px或y²=-2px，由p=3，可得抛物线的方程；
（2）可设抛物线的方程为y²=-2px或x²=-2py，代入点的坐标，可得p，进而得到抛物线方程；
（3）求得双曲线的焦点，设出抛物线的方程，求得p，即可得到抛物线的方程；
（4）求得焦点（0，2），或（-4，0），即可得到抛物线的方程．

解答 解：（1）设抛物线的方程为y²=2px或y²=-2px，
由题意可得p=3，
即有抛物线的方程为y²=6x或y²=-6x；
（2）可设抛物线的方程为y²=-2px或x²=-2py，
代入点（-2，-3），可得p=$\frac{9}{4}$．
即有抛物线的方程为y²=-$\frac{9}{2}$x或x²=-$\frac{9}{2}$y；
（3）双曲线$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦点为（±4，0），
即有$\frac{p}{2}$=4，解得p=8．
即有抛物线的方程为y²=±16x；
（4）焦点在x-2y+4=0上，
即为焦点（0，2），或（-4，0），
则抛物线方程为x²=8y或y²=-16x．

点评 本题考查抛物线的方程和性质的运用，主要考查抛物线的方程的求法，属于基础题．