Question

已知空间向量

a

=(sinα-1，1)，

b

=(1，1-cosα)，

a

•

b

=

1

5

，α∈（0，

π

2

）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和图象的对称中心坐标；
（3）求函数f（x）在区间[-

11π

24

，-

5π

24

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

a

•

b

=sinα-cosα=

1

5

 ①，且α为锐角，平方可得sin2α=

24

25

②，解①②可得sinα，cosα的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为4

2

sin（2x+

π

4

），由此求得最小正周期，以及对称中心的坐标
（3）由于当x∈[-

11π

24

，-

5π

24

] 时，（2x+

π

4

）∈[-

2π

3

，-

π

6

]，由此求得sin（2x+

π

4

） 的范围，即可求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由题意可得

a

•

b

=（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα=

1

5

 ①，且α为锐角．
平方可得1-2sinαcosα=

1

25

，即sin2α=

24

25

②．
由①②解得 sinα=

4

5

，cosα=

3

5

．
（2）∵函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4

2

sin（2x+

π

4

），
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令2x+

π

4

=kπ，k∈z，可得x=

kπ

2

-

π

8

，故对称中心的坐标为（

kπ

2

-

π

8

，0），k∈z．
（3）由于当x∈[-

11π

24

，-

5π

24

] 时，（2x+

π

4

）∈[-

2π

3

，-

π

6

]，
故-1≤sin（2x+

π

4

）≤-

1

2

，-4

2

≤4

2

sin（2x+

π

4

）≤-2

2

，
故函数f（x）的值域为[-4

2

，-2

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的对称性、定义域和值域，属于中档题．