Question

已知函数f（x）=2

x

-lnx-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若不等式

x-m

lnx

＞

x

恒成立，求实数m的取值组成的集合．

Answer 1

分析：（I）求出函数的导数，得出导数的零点为x=1，根据导数的正负，得出函数的单调区间；
（II）根据lnx的符号，将不等式

x-m

lnx

＞

x

变形为m＞x-

x

lnx或m＜x-

x

lnx，根据（I）的结论讨论函数的最值，可得实数m的取值为m=1

解答：解：（I）由已知得x＞0．
因为f′（x）=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

所以当x∈（0，1）?f′（x）＜0，
x∈（1，+∞），?f′（x）＞0．
故区间（0，1）为f（x）的单调递减区间，
区间（1，+∞）为f（x）的单调递增区间．
（II）（i）当x∈（0，1）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx．
令g（x）=x-

x

lnx，
则g′（x）=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

=

f(x)

2 x

．
由（1）知当x∈（0，1）时，有f（x）＞f（1）=0，所以g′（x）＞0，
即得g（x）=x-

x

lnx在（0，1）上为增函数，
所以g（x）＜g（1）=1，所以m≥1．
（ii）当x∈（1，+∞）时，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx．
由①可知，当x∈（1，+∞）时，g（x）=x-

x

lnx为增函数，
所以g（x）＞g（1）=1，所以m≤1．
综上，得m=1．
故实数m的取值组成的集合为：{1}．

点评：本题考查了运用导数研究函数的单调性，讨论出函数的最值，属于中档题．解题时应该注意分类讨论思想以及变量分离思路的应用．