Question

3．若不等式$\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$，对任意的t∈（0，1]上恒成立，则μ的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{13}，2}]$
• B． [$\frac{2}{13}$，1]
• C． $[{\frac{1}{6}，6}]$
• D． $[{\frac{1}{3}，3}]$

Answer 1

分析 根据题意分别构造函数f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$、g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$，对函数分别化简后，利用函数的单调性分别求出最大值、最小值，结合恒成立即可求出μ的范围．

解答 解：设f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$，其中t∈（0，1]，
因为函数y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上单调递减，
所以函数y=$t+\frac{2}{t}$在（0，1]上的最小值是3，
即函数f（t）=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$在（0，1]上的最大值是$\frac{1}{3}$，
设g（t）=$\frac{t+2}{{t}^{2}}$=$\frac{1}{t}+\frac{2}{{t}^{2}}$，且t∈（0，1]，
设x=$\frac{1}{t}$，则x∈[1，+∞），函数g（t）变为：y=2x²+x，
因为函数y=2x²+x在[1，+∞）上单调递增，
所以函数y=2x²+x在[1，+∞）上最小值是3，
即$\frac{t+2}{{t}^{2}}$在（0，1]上的最小值是3，
因为$\frac{t}{{{t^2}+2}}≤μ≤\frac{t+2}{t^2}$对任意的t∈（0，1]上恒成立，
所以$\frac{1}{3}≤μ≤3$，
故选D．

点评 本题考查了恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及函数单调性的应用，考查构造法、换元法，转化思想，化简、变形能力．