Question

已知f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax(a≠1)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若y=f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，由a大于1和a小于1分两种情况考虑分别令导函数的值大于0，求出x的范围即为函数的递增区间；导函数值小于0时，求出x的范围即为函数的递减区间；
（2）由（1）的导函数值为0时x的值为函数f（x）的极值点，故分a大于1和a小于1时两种情况分别求出f（x）的极大值和极小值，又f（x）函数图象与x轴有三个交点，即极大值与极小值的乘积小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
当a＞1时，由f′（x）＞0得x＜1或x＞a，
∴x∈（-∞，1）和（a，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（1，a）时，f（x）单调递减；
当a＜1时，由f′（x）＞0，得x＜a或x＞1，
∴x∈（-∞，a）和（1，+∞）时，f（x）单调递增，x∈（a，1）时，f（x）单调递减．
（2）由（1）知x=1和x=a是f（x）得极值点，
a＞1时，f（1）是极大值，f（a）是极小值；a＜1时，f（a）是极大值，f（1）是极小值，
又y=f（x）的图象与x轴有三个交点，
∴f（1）•f（a）＜0，即

1

2

(a-

1

3

)•[-

1

6

a2(a-3)]＜0，
∴(a-3)(a-

1

3

)＞0，
∴a＞3或a＜

1

3

．

点评：此题考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值．导函数的值与函数单调性的关系为：令导函数的值大于0，求出x的取值范围即为函数的递增区间；令导函数的值小于0，求出x的取值范围即为函数的递减区间．