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(08年平遥中学) (12分) 已知点A(-2,0),B(2,0),动点P满足:∠APB=2θ,且|PA||PB|sin2θ=2

(1)求动点P的轨迹Q的方程;

(2)过点B的直线l与轨迹Q交于两点M,N。试问x轴上是否存在定点C,使?为常数,若存在,求出点C的坐标;若不存在,说明理由。

解析:(Ⅰ)依题意,由余弦定理得:, …2分

即即

  

.

,即.  …………4分

(当动点与两定点共线时也符合上述结论)

动点的轨迹为以为焦点,实轴长为的双曲线.

所以,轨迹的方程为.     …………6分

(Ⅱ)假设存在定点,使为常数.

(1)当直线 不与轴垂直时,

设直线的方程为,代入整理得:

.             …………7分

由题意知,

,,则,.…………8分

于是,   …………9分

.                …………10分

要使是与无关的常数,当且仅当,此时. …11分

(2)当直线 与轴垂直时,可得点,

时,.   

故在轴上存在定点,使为常数.     …………12分

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