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如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B,P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N,连接PM,PN.

(1)延长MP交CN于点E(如图2).

①求证:△BPM≌△CPE;

②求证:PM=PN;

(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B,P在直线a的同侧,其它条件不变,此时PM=PN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗?不必说明理由.

 

【答案】

(1)结合三角形的边和角来证明全等同时得到线段的对应相等的证明。

(2) PM="PN" 成立,同样是借助于三角形的全等来证明。

(3) “四边形MBCN是矩形,则PM=PN成立”

【解析】

试题分析:(1)证明:①如图2:

∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,

∴∠BMN=∠CNM=90°,

∴BM∥CN,

∴∠MBP=∠ECP,

又∵P为BC边中点,

∴BP=CP,

又∵∠BPM=∠CPE,

∴△BPM≌△CPE,        3分

②∵△BPM≌△CPE,

∴PM=PE∴PM="1" 2 ME,

∴在Rt△MNE中,PN="1" 2 ME,     4分

∴PM=PN.

(2)解:成立,如图3.

证明:延长MP与NC的延长线相交于点E,

∵BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,

∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°,

∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP,     6分

又∵P为BC中点,

∴BP=CP,

又∵∠BPM=∠CPE,

∴△BPM≌△CPE,

∴PM=PE,

∴PM="1" 2 ME,

则Rt△MNE中,PN="1" 2 ME,

∴PM=PN.     8分

(3)解:如图4,

四边形M′BCN′是矩形,

根据矩形的性质和P为BC边中点,得到△M′BP≌△N′CP,   9分

得PM′=PN′成立.即“四边形MBCN是矩形,则PM=PN成立”.   10分

考点:相似三角形

点评:解决该试题的关键是对于相似三角形的性质的熟练运用,属于基础题。

 

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