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已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=
1
2
AB=1.
(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)求AC与PB所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求线BP与面PAC所成角的余弦值.
考点:直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用
分析:利用向量法求解:
以点A为坐标原点,射线AD为x轴正半轴,射线AB为y轴正半轴,射线AP为z轴正半轴建立空间直角坐标系.
对于第(1)问,求出平面PAD的一个法向量和平面PCD的一个法向量,要证明两平面垂直,只需说明这两个法向量互相垂直即可;
对于第(2)问,由cos
AC
BP
=
AC
BP
|
AC
||
BP
|
,可探求AC与PB所成的角的余弦值;
对于第(3)问,先求出平面PAC的一个法向量,再求得此法向量与向量
BP
所成角的余弦值,根据此余弦值与直线BP与面PAC所成角的余弦值的关系可达到目的.
解答: 解:如右图所示,以点A为坐标原点,射线AD为x轴正半轴,射线AB为y轴正半轴,射线AP为z轴正半轴建立空间直角坐标系.
由题中条件得A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),
AP
=(0,0,1)
AB
=(0,2,0)
DC
=(0,1,0)
DP
=(-1,0,1)
AC
=(1,1,0)
BP
=(0,-2,1)

(Ⅰ)证明:设向量
n1
=(x1,y1,z1)是平面PDC的法向量,
则由
DC
n1
=0
DP
n1
=0
,得
(0,1,0)•(x1y1,z1)=0
(-1,0,1)•(x1y1z1)=0
,即
y1=0
-x1+z1=0

取x1=1,得
n1
=(1,0,1)
,显然向量
AB
是平面PAD的一个法向量,
n1
AB
=0
,知
n1
AB
,从而平面PAD⊥平面PCD,得证.
(Ⅱ)则cos
AC
BP
=
AC
BP
|
AC
||
BP
|
=
-2
2
5
=-
10
5
,又异面直线AC与PB所成角的范围是(0,
π
2
],
所以直线AC与PB所成角的余弦值为
10
5

(Ⅲ)设向量
n2
=(x2,y2,z2)
是平面PAC的法向量,则
n2
AP
=0
n2
AC
=0

(x2,y2,z2)•(0,0,1)=0
(x2,y2,z2)•(1,1,0)=0
,得
z2=0
x2+y2=0

取x2=1,则
n2
=(1,-1,0)
,从而cos
n2
BP
=
n2
BP
|
n2
||
BP
|
=
2
2
×
5
=
2
5

设直线BP与平面PAC所成角为θ,则sinθ=
2
5
,从而cosθ=
3
5
=
15
5
,即直线BP与平面PAC所成角的余弦值为
15
5
点评:本题考查了两平面垂直的判定方法,两异面直线所成角的求法及线面角的求法,求解时应注意以下几点:
(1)首先应根据几何体的特点,选择三个两两垂直的方向,建立空间直角坐标系,标出所需的点及向量的坐标,再利用夹角公式进行计算,注意弄清由夹角公式得到的角与所求角的关系;
(2)找平面的法向量是关键,有时可直接观察出平面的法向量,这样可省去一些计算;
(3)坐标法是将严密的逻辑推理转化为坐标运算,一般很少添加其他辅助线,但有时计算繁琐,且易出错.
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