Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=

-7x

x2+x+1

.
（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（2）试证明函数y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数．

Answer 1

分析：（1）由偶函数的定义：若偶函数f（x）的定义域为I，则，都有f（-x）=f（x）．所以?x＜0，求出f（-x）的解析式即可求出f（x）的解析式．
（2）根据减函数的定义，?x₁＜x₂∈D，若f（x₁）＞f（x₂）则函数f（x）在区间D内为减函数．

解答：解：（1）?x＜0，则-x＞0，f(-x)=-

7(-x)

(-x)2+(-x)+1

=

7x

x2-x+1

∵f（x）为偶函数，
∴f(x)=f(-x)=

7x

x2-x+1

(x＜0)
（2）?x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）═

7(x1-x2)(x1x2-1)

( x 2 1 +x1+1)( x 2 2 +x2+1)

当0≤x₁＜x₂≤1时，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，而x₁²+x₁+1＞0，x₂²+x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴y=f（x）（x≥0）在[0，1]上为减函数

点评：本题考查了函数奇偶性以及单调性的定义，属于基本知识的考查．定义是数学问题的基础，在学习过程中对于定义要做到理解和灵活运用．