Question

6．已知实数a满足下列两个条件：
①关于x的方程ax²+3x+1=0有解；
②代数式log₂（a+3）有意义．
则使得指数函数y=（3a-2）^x为减函数的概率为（　　）

• A． $\frac{4}{63}$
• B． $\frac{1}{16}$
• C． $\frac{3}{63}$
• D． $\frac{3}{16}$

Answer 1

分析 根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a-2）^x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．

解答 解：：①关于x的方程ax²+3x+1=0有解，
则a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤$\frac{9}{4}$，且a≠0，综合得：a≤$\frac{9}{4}$；
②代数式log₂（a+3）有意义?a＞-3．
综合得：-3＜a≤$\frac{9}{4}$．
满足两个条件：①②数a构成的区域长度为$\frac{9}{4}$+3=$\frac{21}{4}$，
指数函数y=（3a-2）^x为减函数?0＜3a-2＜1?$\frac{2}{3}$＜a＜1．
则其构成的区域长度为：1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
则使得指数函数y=（3a-2）^x为减函数的概率为$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{21}{4}}$=$\frac{4}{63}$
故选：A．

点评 本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．