Question

4．如图1，四边形ABCD中AC⊥BD，CE=2AE=2BE=2DE=2，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A-BCD，其中AB⊥CD．
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面BAD；
（Ⅱ）若F为CD中点，求二面角C-AB-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）地出AB⊥AD，AB⊥CD，且AD，由此能证明AB⊥平面ACD，从而得到平面ACD⊥平面BAD．
（Ⅱ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AB-F的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE⊥BD，且BE=DE，∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB⊥AD，又AB⊥CD，且AD，CD?平面ACD，AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD，
又AB?平面BAD，∴平面ACD⊥平面BAD．
解：（Ⅱ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，
过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，
过A作平面BCD的垂线，垂足为G，根据对称性，G点在x轴上，
设AG=h，由题设知：
E（0，0，0），C（2，0，0），B（0，-1，0），D（0，1，0），
A（$\sqrt{1-{h}^{2}}$，0，h），F（1，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{BA}$=（$\sqrt{1-{h}^{2}}$，1，h），$\overrightarrow{DC}$=（2，-1，0），
∵AB⊥CD，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{DC}$=2$\sqrt{1-{h}^{2}}$-1=0，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{1}{2}，1，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BF}$=（1，$\frac{3}{2}$，0），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{μ}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{μ}•\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}a+b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{μ}•\overrightarrow{BF}=a+\frac{3}{2}b=0}\end{array}\right.$，
令a=9，得$\overrightarrow{μ}$=（9，-6，$\sqrt{3}$），
∵AD⊥AB，AD⊥AC，
∴2$\overrightarrow{DA}$=（1，-2，$\sqrt{3}$）是平面ABC的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{μ}$，2$\overrightarrow{DA}$＞=$\frac{\overrightarrow{μ}•（2\overrightarrow{DA}）}{|\overrightarrow{μ}|•|2\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{9+12+3}{\sqrt{120}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∵二面角C-AB-F是锐角，
∴二面角C-AB-F的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．