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已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)(a>0且a≠1)
(1)若不等式|f(x)|<2的解集为数学公式,求a的值;
(2)(文)设f(x)的反函数为f-1(x),若关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,求m的取值范围.
(3)(理)设f(x)的反函数为f-1(x),若数学公式,解关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R).

解:(1)根据对数的运算法则,得
f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)=(-1<x<1)
令t=,得
故t在区间(-1,1)上是关于x的单调增函数,
不等式|f(x)|<2的解集为,分两种情况加以讨论:
①当a>1时,
∴loga-loga=-2??
②当0<a<1时,,类似①的方法可得
综上所述,得实数a的值为
(2)∵?
∴f-1(x)==1-
∵1+ax>1

欲使关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f-1(x)的最小值,所以m≥-1
故m的取值范围是[-1,+∞).
(3)由(2)得?a=2,
对于关于x的不等式f-1(x)<m,由(2)知的f-1(x)的值域为(-1,1)
故分3种情形加以讨论:
①当m≥1时,有f-1(x)<1≤m,所以f-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R;
②当-1<m<1,f-1(x)<m?1-<m??
∴不等式的解集是x∈(-∞,
由(2)知不等式f-1(x)<m的解集是空集.
综上所述:当m≤-1时原不等式的解集是空集,当-1<m<1时原不等式的解集是x∈(-∞,);当m≥1时,原不等式的解集是R.
分析:(1)根据题意,用对数的运算法则将函数化为,然后将真数对应的函数用求导数的方法讨论其单调性,得出真数是关于x的增函数.最后分a>1和0<a<1两种情况对原不等式的解集加以讨论,从而可以得出实数a的值;
(2)用解方程的方法,将x用y来表示,从而得出函数f-1(x)的表达式,再讨论得其值域为(-1,1),欲使关于x的不等式f-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f-1(x)的最小值,从而得到m≥-1;
(3)先解方程,得到a=2,从而得到函数f-1(x)的表达式,再结合(2)的函数值域的结果,可以分:①当m≥1时,②当-1<m<1,③当m≤-1时,三种情况下讨论不等式f-1(x)<m的解集情况,最后综合可得答案.
点评:本题以对数型复合函数为例,考查了函数的单调性与值域、反函数和不等式的解法等等知识点,属于难题.本题的综合性较强,在解题时注意分类讨论与转化化归思路的适时恰当的运用.
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