解:(1)根据对数的运算法则,得
f(x)=log
a(1+x)-log
a(1-x)=
(-1<x<1)
令t=
,得
故t在区间(-1,1)上是关于x的单调增函数,
不等式|f(x)|<2的解集为
,分两种情况加以讨论:
①当a>1时,
∴log
a-log
a=-2?
?
②当0<a<1时,
,类似①的方法可得
综上所述,得实数a的值为
或
;
(2)∵
?
∴f
-1(x)=
=1-
∵1+a
x>1
∴
欲使关于x的不等式f
-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f
-1(x)的最小值,所以m≥-1
故m的取值范围是[-1,+∞).
(3)由(2)得
?a=2,
对于关于x的不等式f
-1(x)<m,由(2)知的f
-1(x)的值域为(-1,1)
故分3种情形加以讨论:
①当m≥1时,有f
-1(x)<1≤m,所以f
-1(x)<m恒成立,得不等式的解集是R;
②当-1<m<1,f
-1(x)<m?1-
<m?
?
∴不等式的解集是x∈(-∞,
)
由(2)知不等式f
-1(x)<m的解集是空集.
综上所述:当m≤-1时原不等式的解集是空集,当-1<m<1时原不等式的解集是x∈(-∞,
);当m≥1时,原不等式的解集是R.
分析:(1)根据题意,用对数的运算法则将函数化为
,然后将真数对应的函数用求导数的方法讨论其单调性,得出真数是关于x的增函数.最后分a>1和0<a<1两种情况对原不等式的解集加以讨论,从而可以得出实数a的值;
(2)用解方程的方法,将x用y来表示,从而得出函数f
-1(x)的表达式,再讨论得其值域为(-1,1),欲使关于x的不等式f
-1(x)<m(m∈R)有解,m必须大于f
-1(x)的最小值,从而得到m≥-1;
(3)先解方程
,得到a=2,从而得到函数f
-1(x)的表达式,再结合(2)的函数值域的结果,可以分:①当m≥1时,②当-1<m<1,③当m≤-1时,三种情况下讨论不等式f
-1(x)<m的解集情况,最后综合可得答案.
点评:本题以对数型复合函数为例,考查了函数的单调性与值域、反函数和不等式的解法等等知识点,属于难题.本题的综合性较强,在解题时注意分类讨论与转化化归思路的适时恰当的运用.