Question

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动点p满足：2

OP

=

OM

+

ON

（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（I）求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意可判断出P是MN的中点．设出P，M，N的坐标，根据题意联立方程求得

x2 1

m2

 +

y2

m2

=1，然后对m＞1，o＜m＜1和m=1对方程表示出曲线进行分类讨论．
（II）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用直线方程表示出y₁y₂，要使∠AOB为锐角，需

OA

•

OB

＞0，利用向量的基本运算整理得m2+

1

m2

＞ K2 +1，利用基本不等式求得m2+

1

m2

＞2进而求得k的范围．

解答：解：（I）由2

op

=

OM

+

ON

，得P是MN的中点．
设P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂）依题意得：

x1+x2 =2x mx1-mx2=2y  (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4

消去x₁，x₂，整理得

x2

1 m2

+

y2

m2

=1．
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当o＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=1时，方程表示圆．
（II）由m＞1，焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线c恒有两交点，
因为直线斜率不存在时不符合题意，
可设直线l的方程为y=kx+1，直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

y=kx+1 x2 1 m2 + y2 m2 =1

?（m⁴+k²）x²+2kx+1-m²=0
x1+x2 =-

2k

m4+k2

，x1x2=-

1-m2

m4+k2

y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=

k2(1-m2)

m4+k2

+

2k2

m4+k2

+1
要使∠AOB为锐角，则有

OA

•

OB

＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=

m4-(k2+1)m2+1

m4+k2

＞0
即m⁴-（k²+1）m²+1＞0，
可得m2+

1

m2

＞ K2 +1，对于任意m＞1恒成立．
而m2+

1

m2

＞2，∴K²+1≤2，-1≤k≤1
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生知识的综合运用和分析问题的能力．