Question

【题目】已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的角平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为（1，2）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）又过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M，N，求△MON的面积最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为点A在BC边上的高x﹣2y+1=0上，又在∠A的角平分线y=0上，所以解方程组 得A（﹣1，0）．

∵BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，

∴kBC=﹣2，

∵点C的坐标为（1，2），所以直线BC的方程为2x+y﹣4=0，

∵kAC=﹣1，∴kAB=﹣kAC=1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，

解方程组 得B（5，﹣6），

故点A和点B的坐标分别为（﹣1，0），（5，﹣6）．

（2）解：依题意直线的斜率存在，设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k＜0），则 ，所以 ，

当且仅当k=﹣2时取等号，所以（S△MON）min=4，此时直线l的方程是2x+y﹣4=0．

【解析】（1）列方程组 求出A点坐标，根据两直线垂直的条件求出BC、AB所在的直线方程，然后解方程组 得B的坐标；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的C点，写出直线方程，求出△MON面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．