Question

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；
（2）证明：f（x）在R 上单调递减；
（3）设A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a 的范围．

Answer 1

解：（1）证明：f（m+n）=f（m）•f（n），
令m＞0，n=0，?f（m）=f（m）f（0）
已知x＞0时0＜f（x）＜1．
?f（0）=1
设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
?f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1?f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1　…（4分）
（2）?x₁＜x₂∈R，则x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0?f（x₂）-f（x₁）
=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0
∴f（x）在R 上单调递减．　　　　　　　　　　　　　　…（10分）
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）?f（x²+y²）＞f（1）
f（x）在R上单调递减
?x²+y²＜1（单位圆内部分）
f（ax-y+2）=1=f（0）?ax-y+2=0（一条直线）
A∩B=φ??a2≤3?a∈[，]…（16分）
分析：对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，
（1）令m＞0，n=0，代入已知条件，即可求得结果；
（2））?x₁＜x₂∈R，则x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₁）＞0?f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0代入已知条件即可判定函数的单调性．
（3）f（x²）f（y²）＞f（1）?f（x²+y²）＞f（1）结合函数f（x）在R上单调递减得到x²+y²＜1；f（ax-y+2）=1=f（0）?ax-y+2=0（一条直线）结合直线与圆的位置关系即可确定a 的范围．
点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数单调性的判断与证明、函数的奇偶性的定义，属基础题．