Question

已知f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，若f(

9π

4

)=13-9

2

．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的最小正周期（不需证明）；
（3）是否存在正整数n，使得方程f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9中，令x=

9π

4

，可解得 a的值．
（2）根据f（x+π）=f（x），得到f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9，设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，t∈[1，

2

]，由4t²-9t+5=0解得  x=0，

π

2

，或x=x0(0＜x0＜

π

4

)，或 x=

π

2

-x0． 当x∈(

π

2

，π)时，同理可得f（x）在x∈(

π

2

，π)没有实根，故f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，得出结论．

解答：解：（1）令x=

9π

4

，得

2

a+4+9=13-9

2

，得a=-9．
（2）解：

f(x+π)=-9(|sin(x+π|+|cos(x+π)|)+4sin2(x+π)+9 =-9(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9=f(x)

所以，f（x）的最小正周期为π．
（3）不存在n满足题意．  当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9．
设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，t∈[1，

2

]，则sin2x=2sinxcosx=t²-1，
于是f（x）=-9（sinx+cosx）+4sin2x+9=4t²-9t+5，令4t²-9t+5=0，得t=1或t=

5

4

∈[1，

2

]，
于是x=0，

π

2

，或x=x0(0＜x0＜

π

4

)或x=

π

2

-x0，其中sin(x0+

π

4

)=

5 2

8

，
当x∈(

π

2

，π)时，f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9．
设t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，t∈(1，

2

]，则sin2x=2sinxcosx=1-t²，
于是f（x）=-9（sinx-cosx）+4sin2x+9=-4t²-9t+13，令-4t²-9t+13=0，
解得t=1或t=-

13

4

∉(1，

2

]，故f（x）在x∈(

π

2

，π)没有实根．
综上讨论可得，f（x）=0在[0，π）上有4根，而2011=4×502+3，而在[0，502π]有2009个根，在[0，503π]上有2013个根，
故不存在n，使得f（x）=0在区间[0，nπ]内恰有2011个根．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，根据三角函数的值求教的大小，判断f（x）=0在[0，π）上有4根，是解题的关键．