Question

【题目】已知点在椭圆上，设分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图所示，过点作斜率为的直线交椭圆于，交轴于点，若为中点，过作与直线垂直的直线，证明：对于任意的，直线恒过定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）由题意，得直线方程为，点，……………1分

∴点到直线的距离，整理，得． ①……………3分

又点在椭圆上，所以． ②……………4分

联立①②解得，所以椭圆的方程为．…………………5分

（2）因为，所以设直线的方程为．

由消元得，，化简得，，

解得，. …………………7分

显然，则，

所以. …………………8分

因为点为的中点，所以的坐标为，则，

所以直线的斜率为，

又直线的方程为，…………………10分

所以令，得点坐标为，

所以直线的方程为，即，…………………11分

所以直线恒过定点．…………………12分

【命题意图】本题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维

与推理论证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．