Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C．设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，使得PQ为抛物线C的切线，且.圆C1、C2均与直线OP切于点P，且均与x轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值，

Answer 1

【答案】

【解析】

设抛物线C：，点，并设的圆心分别为.

设，将其与抛物线C的方程联立，消去x得

. ①

因为PQ与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为

.

进而，点.

故

.

由

. ②

注意到，OP与圆切于点P.

故.

设圆与x轴分别切于M、N，如图所示.

则 分别为的平分线.故.

由射影定理知.

结合式②有

. ③

由三点共线得

，

. ④

令，于是，圆的面积之和.

根据题意，仅需考虑T取最小值的情形.

根据③、④知

.

作代换.

由.

当且仅当时，上式等号成立.

此时，.

结合式②得

.

故点.