[题目]已知双曲线C: =1.点M与曲线C的焦点不重合.若点M关于曲线C的两个焦点的对称点分别为A.B.M.N是坐标平面内的两点.且线段MN的中点P恰好在双曲线C上.则|AN﹣BN|= ．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知双曲线C： =1，点M与曲线C的焦点不重合，若点M关于曲线C的两个焦点的对称点分别为A，B，M，N是坐标平面内的两点，且线段MN的中点P恰好在双曲线C上，则|AN﹣BN|= ．

【答案】12
【解析】解：双曲线C： =1的a=3，
设双曲线C的左右焦点分别为F1 ， F2 ，如图，
连接PF1 ， PF2 ，
∵F1是MA的中点，P是MN的中点，
∴F1P是△MAN的中位线，
∴|PF1|= |AN|，
同理|PF2|= |BN|，
∴||AN|﹣|BN||=2||PF1|﹣|PF2||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：
||PF1|﹣|PF2||=2a=6，
∴||AN|﹣|BN||=12．
所以答案是：12．

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