Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，左右两个焦分别为F₁、F₂．过右焦点F₂且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，动点P满足=m-4，（m∈R）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义和简单性质，求出a 和b²的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x，y），由 =m-4，求得 y=2x+m，求出点B关于P的轨迹的对称点B′的坐标，并代入椭圆方程，解出 m值，即得点P的轨迹方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得|MF₂|=，由椭圆的定义得：|MF₁|+=2a．
∵|MF1|²=4c²+，∴=4c²+，又 e=得 ，
∴4a²-2a=3a²，∴a=2．
∴b²=a²-c²==1，∴所求椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A（-2，0），点B为（0，-1），设点P的坐标为（x，y），
则=（-2-x，-y），=（2，-1），由 =m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴点P的轨迹方程为 y=2x+m．
设点B关于P的轨迹的对称点为B′（x，y），则由轴对称的性质可得：=-，，
解得：x=，y=，∵B′（x，y） 在椭圆上，
∴+4=4，整理得 2m²-m-3=0解得 m=-1或 m=．
∴点P的轨迹方程为 y=2x-1或 y=2x+，经检验  y=2x-1和 y=2x+，都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为 y=2x-1，或 y=2x+．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程和简单性质，求点的轨迹方程的方法，利用椭圆的对称性求出m值是解题的关键．