Question

已知P为抛物线y²=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A、B两点，若点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线x=-1上．试猜测如果点P为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A、B两点，点Q在直线l上，且满足AP•QB=AQ•PB，则点Q总在定直线

x=-

16 7

7

上．

Answer 1

分析：由已知中已知P为抛物线y²=4x的焦点，过P的直线l与抛物线交与A，B两点，若Q在直线l上，且满足 |

AP

||

QB

|=|

AQ

||

PB

|，则点Q总在定直线x=-1上．我们易判断出满足条件的定直线为抛物线的准线，类比推理，可以推断出如果P为椭圆

x2

16

+

y2

9

=1的左焦点，过P的直线l与椭圆交与A，B两点，若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，则点Q也在椭圆的左准线上，进而可得答案．

解答：解：由已知P为抛物线y²=4x的焦点，
过P的直线l与抛物线交与A，B两点，
若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，
则点Q总在定直线x=-1上．
故满足条件的点在抛物线的直线上，
则我们易类比推断出：
如果P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的左焦点，
过P的直线l与椭圆交与A，B两点，
若Q在直线l上，且满足 AP•QB=AQ•PB，
则点Q总在椭圆的左准线上，即直线方程为 x=-

16 7

7

故答案为：x=-

16 7

7

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．