Question

下列命题：
（1）若函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
（4）对于函数f(x)=

x

，若0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命题为真命题的是

（1）（2）（3）

．（将所有真命题的序号填在题中的横线上）

Answer 1

分析：（1）已知函数奇偶性，求参数的值，常用特殊值验证，代入x=0或1即得；
（2）先对函数化简整理得到f（x）=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，再有函数图象的平移、对称变换得到f（x）的图象，即得f（x）的周期；
（3）在同一坐标系中，作出y=lgx与y=sinx的图象，看交点个数；（数形结合）
（4）（数形结合）作出函数f(x)=

x

的图象，即可判定两值的大小关系．

解答：解：（1）∵函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=lg(0+

0+a

)=lg

a

=0，
∴

a

=1，即a=1；
（2）∵f（x）=|1+sinx+cosx|=|1+

2

sin(x+

π

4

)|，
又由y=

2

sin(x+

π

4

)的周期是2π，将其函数图象上移一个单位后得到y=

2

sin(x+

π

4

)+1的图象，
然后再将X轴下方的图象沿X轴旋转180°，得到f（x）=1+

2

sin(x+

π

4

)|的图象，
∴函数f（x）=|1+sinx+cosx|的周期T=2π；
（3）作出y=lgx与y=sinx的图象，由于y=lgx在（0，∞）上为增函数且l，g10=1，lg1=0，
故在区间（0，π）内y=lgx与y=sinx有一个交点，在（π，2π）内无交点，在（2π，3π）内有三个交点，
∴方程lgx=sinx有且只有三个实数根；
  
（4）∵函数f(x)=

x

是单调递增的凸函数，∴在0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

，
∴若0＜x₁＜x₂，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

是错误的；
故答案为（1）（2）（3）．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判定，同时考查了函数的一些性质，注意数形结合的方法．