【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点,
(1)求证:BG⊥平面PAD;
(2)求证:AD⊥PB;
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.
【答案】
(1)证明:在底面菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD边的中点,所以BG⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以BG⊥平面PAD
(2)证明:连接PG,因为△PAD为正三角形,
G为AD边的中点,
得PG⊥AD,由(1)知BG⊥AD,
PG平面PGB,BG平面PGB,PG∩BG=G,
所以AD⊥平面PGB,因为PB平面PGB.
所以AD⊥PB
(3)解:当F为PC边的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD,证明如下:
取PC 的中点F,连接DE、EF、DF,
在△PBC中,FE∥PB,在菱形ABCD中,GB∥DE,
EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB,因为BG⊥平面PAD,所以BG⊥PG,又因为PG⊥AD,AD∩BG=G,
∴PG⊥平面ABCD,而PG平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD,
所以平面DEF⊥平面ABCD.
【解析】(1)证明BG⊥AD,通过平面与平面垂直的性质,即可证明BG⊥平面PAD.(2)连接PG,证明PG⊥AD,通过BG⊥AD,证明AD⊥平面PGB,然后证明AD⊥PB.(3)当F为PC边的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD,证明如下:取PC 的中点F,连接DE、EF、DF,
通过证明BG⊥PG,PG⊥AD,AD∩BG=G,PG⊥平面ABCD,即可证明平面DEF⊥平面ABCD.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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【题目】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a>c,已知=2,cosB=
,b=3,求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
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【题目】已知函数f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(0,5),若对于任意x∈[2,4],不等式f(x)+t≤2恒成立,则t的取值范围为 .
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【题目】函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1 , x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;② ;③f(1﹣x)=1﹣f(x).则
= .
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【题目】2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开,为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务,用简单随机抽样方法从该校调查了50人,结果如下:K
是否愿意提供志愿者服务 | 愿意 | 不愿意 |
男生 | 20 | 5 |
女生 | 10 | 15 |
(Ⅰ)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人,其中男生抽取多少人?
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的6人中任选2人,求恰有一名女生的概率;
(Ⅲ)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关?
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
独立性检验统计量 ,其中n=a+b+c+d.
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【题目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成如图所示频率分直方图.
(Ⅰ)求图中x的值;
(Ⅱ)已知满意度评分值在[90,100]内的男生数与女生数的比为2:1,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取4人进行座谈,设其中的女生人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
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