Question

已知函数f(x)=1+

2

x-1

，g(x)=f（2^x）
（1）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，通过作差比较g（x₁），g（x₂）的大小关系，根据减函数定义只需说明g（x₁）＞g（x₂）即可；
（2）根据第（1）问结论说明g（x）在（-∞，-1]上的单调性，根据单调性即可求得其最小值．

解答：解：（1）g(x)=f(2x)=1+

2

2x-1

，
∵2^x-1≠0⇒x≠0，∴函数g（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则g(x1)-g(x2)=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴2x2＞2x1且2x1＜1，2x2＜1⇒g(x1)-g(x2)＞0，即g(x1)＞g(x2)，
根据函数单调性的定义知：函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
（2）由（1）知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴函数g（x）在（-∞，-1]上为减函数，
∴当x=-1时，g(x)min=g(-1)=1+

2

2-1-1

=-3．

点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，定义是判断函数单调性的基本方法．