Question

记不等式组

x≤1 x-y+2≥ x+y+1≥0

0表示的平面区域为M．
（Ⅰ）画出平面区域M，并求平面区域M的面积；
（Ⅱ）若点（a，b）为平面区域M中任意一点，求直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的概率．

Answer 1

分析：（I）分别联解方程组，得到三条直线的三个交点的坐标，再根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M为：△ABC及其内部，其中A(-

3

2

，

1

2

)、B（1，3）、C（1，-2），最后可用三角形面积公式求出区域M的面积．
（II）直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为区域M内与第二象限交集，即图中阴影部分，可求出其面积S'，最后利用几何概型公式，求出其概率．

解答：解：（Ⅰ）联解

x-y+2=0 x+y+1=0

，得x=-

3

2

，y=

1

2

，得到点A(-

3

2

，

1

2

)；
联解

x=1 x-y+2=0

，得x=1，y=3，得到点B（1，3）；联解

x=1 x+y+1=0

，得x=1，y=-2，得到点C（1，-2）
∴根据一元二次不等式组表示的平面区域的结论，可得平面区域M表示直线AB下方，直线AC上方且在直线BC左侧的部分
因此，可得平面区域M为：△ABC及其内部，其中A(-

3

2

，

1

2

)、B（1，3）、C（1，-2），（如右图所示）（3分）
∴平面区域M的面积为S=

1

2

×

5

2

×5=

25

4

（5分）
（Ⅱ）要使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则a＜0，b＞0，（6分）
又∵点（a，b）的区域为M，
∴使直线y=ax+b的图象经过一、二、四象限的点（a，b）的区域为第二象限的阴影部分，
其面积为S'=2-

1

2

×

1

2

×1=

7

4

                                （8分）
故所求的概率为P=

S′

S

=

7 4

25 4

=

7

25

（10分）

点评：本题以二元一次不等式组表示的平面区域为例，考查了平面直角坐标系中求直线交点坐标、二元一次不等式（组）与平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．