Question

（2011•湖北）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=a（a≠0），a_n+1=rS_n（n∈N^*，r∈R，r≠﹣1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

（1）
（2）见解析

（1）由已知a_n+1=rS_n，则a_n+2=rS_n+1，两式相减得
a_n+2﹣a_n+1=r（S_n+1﹣S_n）=ra_n+1
即a_n+2=（r+1）a_n+1
又 a₂=ra₁=ra
∴当r=0时，数列{a_n}为：a，0，0，…；
当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴a_n≠0
由a_n+2=（r+1）a_n+1得数列{a_n}从第二项开始为等比数列
∴当n≥2时，a_n=r（r+1）^n﹣2a
综上数列{a_n}的通项公式为
（2）对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列，理由如下：
当r=0时，由（1）知，
∴对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列；
当r≠0，r≠﹣1时
∵S_k+2=S_k+a_k+1+a_k+2，S_k+1=S_k+a_k+1
若存在k∈N^*，使得S_k+1，S_k，S_k+2成等差数列，则2S_k=S_k+1+S_k+2
∴2S_k=2S_k+a_k+2+2a_k+1，即a_k+2=﹣2a_k+1
由（1）知，a₂，a₃，…，a_n，…的公比r+1=﹣2，于是
对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1=﹣2a_m，从而a_m+2=4a_m，
∴a_m+1+a_m+2=2a_m，即a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列
综上，对于任意的m∈N^*，且m≥2，a_m+1，a_m，a_m+2成等差数列．