Question

8．电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．
（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；
（2）求跳三步跳到C₁的概率P₁；
（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C₁的次数，求随机变量X的概率分布．

Answer 1

分析 （1）将A标示为0，A₁、B、D标示为1，B₁、C、D₁标示为2，C₁标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B₁再跳到A₁记为121，其余类推．
（2）由已知条件从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为$\frac{1}{3}$，从1到2与从2到1的概率为$\frac{2}{3}$．由此能求出跳三步跳到C₁的概率．
（3）由题设知X=0，1，2．分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：将A标示为0，A₁、B、D标示为1，B₁、C、D₁标示为2，C₁标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B₁再跳到A₁记为121，其余类推．从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为$\frac{1}{3}$，从1到2与从2到1的概率为$\frac{2}{3}$．
（1）P=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；                                 　　　　　　　　　　　…4′
（2）P=P（0123）=1×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；                                 …10′
（3）X=0，1，2．P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）
=1×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$=$\frac{26}{81}$，P（X=2）=P（012323）=1+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{1}{3}$=$\frac{6}{81}$，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=$\frac{49}{81}$
或P（X=0）=P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121）
=1×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×1+1×$\frac{1}{3}$×1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×1+1×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{49}{81}$，

X	0	1	2
p	$\frac{49}{81}$	$\frac{26}{81}$	$\frac{6}{81}$

…16′

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．