Question

（14分）在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为.

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

解析: (Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有

 .                ………………… 3分

化简并整理，得

.

∴动点的轨迹的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为,    …………………………………………………………………………6分

由方程组

   消去，并整理得

        

设,,则

   ，……………………………………………………… 8分

∴

∴,

,           …………………………………………… 10分

(1)当时，；           …………………………………………… 11分

(2)当时,

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分

解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.

(1)    当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；   …………6分

(2)    当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,   …………7分

由方程组

   消去，并整理得

       

设,,则

   ，……………………………………………………… 8分

∴

,

,              ………………… 10分

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分