Question

（09年通州调研四）（14分）在正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是AB、A₁D₁、C₁D₁的中点（如图）。

（1）求证：B₁G⊥CF；

（2）若P是A₁B₁上的一点，BP∥平面ECF，求A₁P∶A₁B₁的值。

Answer 1

解析：（1）证明：连C₁F，

∵A₁B₁C₁D₁是正方形，F、G分别是A₁D₁、C₁D₁的中点

∴C₁F⊥B₁G

∵ABCD―A₁B₁C₁D₁是正方体

∴CC₁⊥B₁G

∵C₁F ∩CC₁=C₁

∴B₁G⊥平面CC₁F

而CF是平面CC₁F内的直线

∴B₁G⊥CF

（2）解：延长CE与DA延长线相交于M，连FM与AA₁相交于点Q，连EQ，过B点作BP∥EQ与A₁B₁的交点即为所求的点P。

∵CE延长线与DA延长线相交于M

∴M平面CEF中的点，FM平面CEF，EQ平面CEF

∵BP∥EQ

∴BP∥平面ECF，且P在A₁B₁上即为所求。

∵E是AB的中点，AB∥CD

∴AE∥CD，且等于CD的一半

∴A是DM的中点

过F作AD的垂线，垂足是AD的中点记为F₁,

FF₁∶AQ=F₁M∶AM=,QA=AA₁

∵BP∥EQ

∴△AEQ∽△B₁PB

AE∶AQ=B₁P∶B₁B=∶=3∶4

∴A₁P∶A₁B₁=