Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F₁，作圆x²+y²=a²的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF₁的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　）

• A、b-a=|MO|-|MT|
• B、b-a＞|MO|-|MT|
• C、b-a＜|MO|-|MT|
• D、b-a=|MO|+|MT|

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F₁T，在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=b．连PF₂，M为线段F₁P的中点，O为坐标原点得出|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．

解答： 解：连OT，则OT⊥F₁T，
在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=

|OF1|2-|OT|2

=b．
连PF₂，M为线段F₁P的中点，O为坐标原点，
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，
∴|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+b
=

1

2

×（-2a）+b=b-a．
故选A．

点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．